Mint írják, Kuncz László sportpályafutását a Budapesti Honvédban úszóként kezdte, majd 1972-től Hevesi István, Öveges László és Brandy Jenő kezei alatt vízilabdázott. Három évvel később, első felnőtt bajnoki találkozóján rögvest öt gólt lőtt az FTC-nek, Gyarmati Dezső szövetségi kapitány behívta a válogatottba.
A nemzeti csapattal az 1980-as, moszkvai olimpián állt a dobogóra, de tagja volt az 1982-es világbajnoki második, illetve az 1983-ban Európa-bajnoki második, 1981-ben pedig harmadik együttesnek. Háromszoros magyar bajnok és kupagyőztes, az OSC-vel kétszeres BEK-győztes, a Vasassal KEK-győztes volt. Később edzőként tevékenykedett, legutóbb a BVSC ifjúsági csapatával ért el sikereket.